在数学分析中，求导是一个非常基础且重要的操作。当我们遇到函数 \(y = (\sin x)^3\) 时，如何对其进行求导呢？这是一个典型的复合函数求导问题。
首先回顾一下链式法则：如果函数 \(y = f(g(x))\)，那么它的导数为 \(y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)。这里，\(f(u) = u^3\)，而 \(g(x) = \sin x\)。因此，我们可以将原函数视为一个复合函数，即 \(f(g(x)) = (\sin x)^3\)。
接下来，我们分别对内外层函数求导：
- 对于外层函数 \(f(u) = u^3\)，其导数是 \(f'(u) = 3u^2\)；
- 内层函数 \(g(x) = \sin x\) 的导数为 \(g'(x) = \cos x\)。
根据链式法则，将两部分相乘得到最终结果：
\[ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 3(\sin x)^2 \cdot \cos x \]
所以，\((\sin x)^3\) 关于 \(x\) 的导数就是 \(3(\sin x)^2 \cos x\)。
这个过程清晰地展示了如何通过分解和组合来解决复杂的求导问题。理解并熟练掌握这种技巧对于深入学习微积分至关重要。希望这篇简短的分析能够帮助你更好地理解和记忆这一知识点！
